Е. Дынкин и В. Успенский

Математические беседы

Раздел 3. Случайные блуждания (цепи Маркова)

Пример 1. Представим себе урну, в которой лежат 1000 шаров. Из них один черный, а остальные белые. Пусть из этой урны вынимается наудачу один шар. Может ли случиться, что этот шар окажется черным? Конечно, может, но это мало вероятно.

Пример 2. Предположим, что человек, не знающий русского языка, беспорядочно ударяет по клавиатуре пишущей машинки с русским алфавитом. Может ли случиться, что при этом он нечаянно напечатает повесть Пушкина «Капитанская дочка»? Очевидно, что и это не является абсолютно невозможным. Однако вряд ли хотя бы один человек станет практически считаться с этим, как с реальной возможностью. (Ведь и буквальное совпадение сочинений двух экзаменующихся школьников тоже могло бы, строго говоря, произойти чисто случайно. И тем не менее такое совпадение с полным основанием считается доказательством того, что одно из сочинений списано.)

Пример 3. Согласно молекулярной теории газов воздух представляется в виде совокупности огромного числа хаотически движущихся молекул. Взаимодействие между отдельными молекулами почти отсутствует, и поэтому положение в пространстве каждой молекулы не влияет на положение остальных. Разделим мысленно объем комнаты, в которой мы находимся, на две половины: верхнюю и нижнюю. Не исключена возможность (это вытекает из основных предпосылок молекулярной теории), что все молекулы воздуха, имеющиеся в комнате, соберутся в верхней половине, и тогда обитатели комнаты погибнут от удушья. Этот вывод кажется нелепым. Но означает ли он крушение всей молекулярной теории газов? Надо надеяться, что после предыдущих примеров читатель не сделает такого заключения: явление, которое мы себе вообразили, хотя и не является абсолютно невозможным, но с полным основанием может считаться практически невозможным. Оснований для этого еще неизмеримо больше, чем в предыдущем примере, ибо молекул воздуха в комнате неизмеримо больше, чем печатных знаком в «Капитанской дочке».

Итак, маловероятные события могут с полным правом рассматриваться как практически невозможные. Вместе с тем существуют различные уровни такой невозможности: этот уровень невозможности гораздо выше в примере 2, чем в примере 1, и гораздо выше в примере 3, чем в примере 2.